Question

若a＞2，則方程

1

3

x³-ax²+1=0在（0，2）上恰好有（　�。�

• A、0個根
• B、1個根
• C、2個根
• D、3個根

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：令f（x）=

1

3

x³-ax²+1，利用導數(shù)法，結(jié)合a＞2，可得f（x）=

1

3

x³-ax²+1在（0，2）上為減函數(shù)，進而根據(jù)零點存在定理可得函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+1在（0，2）上有且只有一個零點，即方程

1

3

x³-ax²+1=0在（0，2）上恰好有1個根．

解答： 解：令f（x）=

1

3

x³-ax²+1，
則f′（x）=x²-2ax，
∴a＞2，故當x∈（0，2）時，f′（x）＜0，
即f（x）=

1

3

x³-ax²+1在（0，2）上為減函數(shù)，
又∵f（0）=1＞0，f（2）=

11

3

-4a＜0，
故函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+1在（0，2）上有且只有一個零點，
即方程

1

3

x³-ax²+1=0在（0，2）上恰好有1個根，
故選：B

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，熟練掌握方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的關(guān)系，及函數(shù)零點的存在定理是解答的關(guān)鍵．