Question

已知定義在（0，

π

2

）上的函數(shù)f（x），f′（x）為其導函數(shù)，且f（x）＜f′（x）•tanx恒成立，則（　�。�

• A、

  3

  f（

  π

  4

  ）＞

  2

  f（

  π

  3

  ）
• B、

  3

  f（

  π

  6

  ）＜f（

  π

  3

  ）
• C、

  2

  f（

  π

  6

  ）＞f（

  π

  4

  ）
• D、f（1）＜2f（

  π

  6

  ）•sin1

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：把給出的等式變形得到f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，由此聯(lián)想構造輔助函數(shù)g（x）=

f(x)

sinx

，由其導函數(shù)的符號得到其在（0，

π

2

）上為增函數(shù)，則g（

π

6

）＜g（

π

4

）＜g（1）＜g（

π

3

），整理后即可得到答案．

解答： 解：解：因為x∈（0，

π

2

），所以sinx＞0，cosx＞0，
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx，
即f′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=

f(x)

sinx

，x∈（0，

π

2

），則g′（x）=

f′(x)sinx-f(x)cosx

sin2x

＞0．
所以函數(shù)g（x）=

f(x)

sinx

在x∈（0，

π

2

）上為增函數(shù)，
則g（

π

6

）＜g（

π

4

）＜g（1）＜g（

π

3

），即

f( π 6 )

sin π 6

＜

f( π 4 )

sin π 4

＜

f(1)

sin1

＜

f( π 3 )

sin π 3

，
對照選項，A．應為

2

f(

π

3

)＞

3

f(

π

4

)，C．應為

2

f(

π

6

)＜f（

π

4

），
D．應為f（1）2f（

π

6

）sin1，B正確．
故選B．

點評：本題考查了導數(shù)的運算法則，考查了利用函數(shù)導函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性，考查了函數(shù)構造法，屬中檔題型．