Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對邊，已知sin²B+sin²C=sin²A+

6

5

sinBsinC．
（1）求cosA的值．
（2）若sinB=2sinC，且△ABC的面積為

16

5

，試求邊a的長．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，整理得到關系式，再利用余弦定理表示出cosA，將得出關系式代入求出cosA的值即可；
（2）將sinB=2sinC利用正弦定理化簡得b=2c，由cosA的值，利用同角三角函數(shù)間基本關系求出sinA，利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將b=2c，已知面積，以及sinA的值代入求出c的長，進而求出b的長，利用余弦定理即可求出a的值．

解答： 解：（1）已知等式sin²B+sin²C=sin²A+

6

5

sinBsinC，
利用正弦定理化簡得：b²+c²=a²+

6

5

bc，即b²+c²-a²=

6

5

bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3

5

；
（2）將sinB=2sinC利用正弦定理化簡得：b=2c，
∵cosA=

3

5

，
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

•2c•c•

4

5

=

16

5

，即c=2，
∴b=4，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=16+4-

48

5

=

52

5

，
則a=

260

5

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理是解本題的關鍵．