已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)A(1,2),其焦點(diǎn)F在y軸上,直線y=kx+2交拋物線C于A,B兩點(diǎn),M是線段AB的中點(diǎn),過M作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)N.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)證明:拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(Ⅰ)設(shè)拋物線C的方程為y=ax2,利用點(diǎn)A(1,2)在拋物線C上,即可求拋物線C的方程;
(Ⅱ)把y=kx+2代入y=2x2,利用韋達(dá)定理,確定N的坐標(biāo),從而可得拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程,進(jìn)而可證明切線l的與k相等,即可得到結(jié)論.
解答: 解:依題意,設(shè)拋物線C的方程為y=ax2
(Ⅰ)∵點(diǎn)A(1,2)在拋物線C上,∴a=1.
∴拋物線C的方程為y=2x2.…(4分)
(Ⅱ)如圖,設(shè)A(x1,2x12),B(x2,2x22),
把y=kx+2代入y=2x2得:2x2-kx-2=0,
由韋達(dá)定理得:x1+x2=
k
2
,x1x2=-1,∴xN=xM=
x1+x2
2
=
k
4
,
即N點(diǎn)的坐標(biāo)為(
k
4
,
k2
8
).…(8分)
設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為y-
k2
8
=m(x-
k
4
),
將y=2x2代入上式得:2x2-mx+
mk
4
-
k2
8
=0,
∵直線l與拋物線C相切,所以△=m2-8(
mk
4
-
k2
8
)=m2-2mk+k2=(m-k)2=0,
∴m=k,即l∥AB.…(12分)
點(diǎn)評:本題考查拋物線的方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查拋物線的切線,屬于中檔題.
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已知i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)
2i
1+i
的共軛復(fù)數(shù)是( �。�
A、1+iB、1-i
C、-1+iD、-1-i

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已知函數(shù)f(x)=x2+bx(b∈R),則下列結(jié)論正確的是(  )
A、?b∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)
B、?b∈R,f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)
C、?b∈R,f(x)為奇函數(shù)
D、?b∈R,f(x)為偶函數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過點(diǎn)A(-1,1),離心率為
6
3

(I)求橢圓C的方程
(II)設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn),P是橢圓C上的動點(diǎn)(不同于A,B),直線AP,BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N,問是否存在點(diǎn)P使得△PAB和△PMN的面積相等,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在請說明理由.

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已知A,B分別是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)D(1,
3
2
)
在橢圓C上,且直線DA與直線DB的斜率之積為-
b2
4

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)P為橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),直線AP,PB與橢圓的右準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)M,N.
①在x軸上是否存在一個定點(diǎn)E,使得EM⊥EN?若存在,求點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
②已知常數(shù)λ>0,求
PM
PN
PA
PB
的取值范圍.

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求函數(shù)f(x)=
x+3
-1
x+2
的值域.

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已知橢圓C:3x2+y2=12,直線x-y-2=0交橢圓C于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)及長軸長;
(Ⅱ)求以線段AB為直徑的圓的方程.

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(1)若f(x)≥0對一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)若f(x)在區(qū)間[a,a+1]是單調(diào)函數(shù),求a的范圍.

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