Question

已知函數f（x）=log2

x+2a+1

x-3a+1

．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）若函數f（x）的定義域關于坐標原點對稱，試討論它的奇偶性和單調性；
（3）在（2）的條件下，記f^-1（x）為f（x）的反函數，若關于x的方程f^-1（x）=5k•2^x-5k有解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求函數的定義域，即真數大于零，解含參數的不等式；
（2）利用定義域關于原點對稱，求出a的值；然后再看f（x）與 f（-x）的關系，確定函數的奇偶性；
（3）求出函數的反函數，分離參數，轉化為求函數的值域．

解答：解：（1）

x+2a+1

x-3a+1

＞0，
所以當a＞0時，定義域為（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞）
當a＜0時，定義域為（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）；
當a=0時，定義域為（-∞，-1）∪（-1，+∞）（4分）
（2）函數f（x）的定義域關于坐標原點對稱，
當且僅當-2a-1=-（3a-1）?a=2，
此時，f(x)=log2

x+5

x-5

．（6分）
對于定義域D=（-∞，-5）∪（5，+∞）內任意x，-x∈D，
f(-x)=lg

-x+5

-x-5

=lg

x-5

x+5

=-lg

x+5

x-5

=-f(x)，所以f（x）為奇函數；（8分）
當x∈（5，+∞），f（x）在（5，+∞）內單調遞減；
由于f（x）為奇函數，所以在（-∞，-5）內單調遞減；（10分）
（3）f-1(x)=

5(2x+1)

2x-1

，x≠0  （12分）
方程f^-1（x）=5k?2^x-5k即

2x+1

2x-1

=k(2x-1)，令2^x=t，則t＞0且t≠1，得k=

t+1

(t-1)2

，
又

t+1

(t-1)2

∈(0，+∞)，所以當k＞0，f^-1（x）=5k?2^x-5k解．（14分）

點評：考查了分類討論的思想方法，換元的思想方法；函數奇偶性的判定；特別注意換元后，新變量的取值范圍，屬難題．