Question

(2007天津，21)在數(shù)列中，，，其中．

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)求數(shù)列的前n項和；

(3)證明存在，使得對任意均成立．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：， ， ． 由此可猜想出數(shù)列的通項公式為． 以下用數(shù)學歸納法證明． ①當n=1時，，等式成立． ②假設當n=k時等式成立，即， 那么， ． 這就是說，當n=k＋1時等式也成立． 根據(jù)①和②可知，等式 對任何都成立． (2)設，① ，② 當≠1時，①式減去②式，得 ， ． 這時數(shù)列的前n項和 ． 當λ=1時，．這時數(shù)列的前n項和． (3)通過分析，推測數(shù)列的第一項最大．下面證明：，n≥2．③ 由λ＞0知＞0．要使③式成立，只要． 因為，n≥2． 所以③式成立．因此，存在k=1，使得對任意均成立．

提示：

剖析：本題以數(shù)列的遞推關系為載體，主要考查等比數(shù)列的前n項和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎知識與基本方法，考查歸納、推理、運算及靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力．