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ABCD是平行四邊形，P為平面ABCD外一點，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2a，AB=a,AC=a.

（1）求證：平面ABCD⊥平面PAC；

（2）求異面直線PC與BD所成角的余弦值；

（3）設二面角A-PC-B的大小為θ，求tanθ的值.

（1）證明：∵AB=a,AD=2a,AC=a,∴∠BAC=∠ACD=90°.?

?

∵PA⊥面ABCD，PA面PAC，∴面PAC⊥面ABCD.?

（2）解析：建立如圖所示坐標系.

B（a,0,0）,D(-a,a,0),C(0,a,0),P(0,0,2a)?,=(-2a,a,0),=(0,a,-2a),?

∴cosα=.?

（3）解析：∵∠BAC=90°,?

∴BA⊥AC,PA⊥面ABCD.?

∴PA⊥AB.?

∴AB⊥面PAC.?

作AE⊥PC，連結BE，?

∴∠AEB即為所求角θ.?

∵AP=2a,AC=a,PC=a，?

∴AE=.?

∴tanθ=.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

例2．已知ABCD是平行四邊形，求證：|
AC
|2+|
BD
|2=2(|
AB
|2+|
AD
|2).

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD=30°，AB=2，AD=
3
，E是SC的中點．
（Ⅰ）求證：SA∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：AD⊥SB；
（Ⅲ）若SD=2，求棱錐C-BDE的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB ，  AB=2 ，  EB=
3
 ，  EF=1 ，BC=
13

且M是BD的中點．
（1）求證：EM∥平面ADF；
（2）求直線DF和平面ABCD所成角的正切值；
（3）求二面角D-AF-B的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點M、N分別為BC、PA的中點，且PA=AD=2，AB=1，AC=
3
．
（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）在線段PD上是否存在一點E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的長；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐V-ABCD，底面ABCD是平行四邊形，點V在平面ABCD上的射影E在AD邊上，且AE=
1
3
ED，VE=4，BE=EC=2，∠BEC=90°．
（Ⅰ）設F是BC的中點，求異面直線EF與VC所成角的余弦值；
（Ⅱ）設點P在棱VC上，且DP⊥EC．求
VP
PC
的值．

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