Question

若F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓

x2

4

+y²=1的左、右焦點．
（1）設(shè)點P是第一象限內(nèi)橢圓上的點，且

PF1

•

PF2

=-

5

4

，求點P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的點A，B，且

OA

•

OB

＞0，（其中O為原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓方程求得焦點F₁，F(xiàn)₂，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)

PF1

•

PF2

=-

5

4

，求點P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l：y=kx+2代入橢圓方程消去y，進(jìn)而根據(jù)判別式求得k的范圍，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，由

OA

•

OB

＞0，可得x₁x₂+y₁y₂＞0求得關(guān)于k的不等式，求得k的范圍，最后綜合求得答案．

解答： 解：（1）易知a=2，b=1，c=

3

，
∴F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0）
設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0）
則

PF1

•

PF2

=x²+y²-3=-

5

4

，
與橢圓聯(lián)立得x=1，y=

3

2

，
∴P（1，

3

2

）；…（7分）
（2）顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l：y=kx+2，A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），
與橢圓聯(lián)立得（1+4k²）x²+16kx+12=0…（9分）
∴x₁x₂=

12

1+4k2

，x₁+x₂=-

16k

1+4k2

…（8分）
由△=4k²-3＞0得k²＞

3

4

…（9分）
又

OA

•

OB

＞0．
∴x₁x₂+y₁y₂＞0
∴（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＞0…（12分）
∴

4(4-k2)

1+4k2

＞0，
∴-

1

4

＜k²＜4
綜上可得

3

4

＜k²＜4，
∴直線l的斜率k的取值范圍是（-2，-

3

2

）∪（

3

2

，2）…（14分）

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內(nèi)容，是高考的熱點．