Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=a，AC=2，AA₁=1，點D在棱B₁C₁上且B₁D：DC₁=1：3
（1）證明：無論a為任何正數(shù)，均有BD⊥A₁C；
（2）當a為何值時，二面角B-A₁D-B₁為60°．

Answer 1

分析：（1）由題意建立如圖示的空間直角坐標系，學出各個點的坐標進利用向量的垂直證明了線線的垂直；
（2）利用方程的思想，先設(shè)出未知的變量，利用兩個平面的法向量與平面所成的二面角的大小之間的關(guān)系建立方程進行求出變量的數(shù)值．

解答：解：（1）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz（如圖），


D(

3

4

a，

1

2

，1)，A₁（0，0，1），B（a，0，0），C（0，2，0），

BD

=(-

a

4

，

1

2

，1)，

A1C

=（0，2，-1），
∵

BD

•

A1C

=(-

a

4

，

1

2

，1)•（0，2，-1）=0，∴

BD

⊥

A1C

，即BD⊥A₁C．
故無論a為任何正數(shù)，均有BD⊥A₁C．

（2）

A1D

=(

3

4

a，

1

2

，0)，

A1B

=(a，0，-1)，
設(shè)平面A₁BD的一個法向量為

n

=（x，y，z），則

n

⊥

A1D

，

n

⊥

A1B

，
故

n • A1D = 3 4 ax+ 1 2 y=0 n • A1B =ax-z=0

，即

y=- 3 2 ax z=ax

，取

n

=(

1

a

，-

3

2

，1)．
又平面A₁B₁D的一個法向量為

m

=(0，0，1)
∴cos?

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

( 1 a )2+(- 3 2 )2+1

=

1

1 a2 + 13 4

，
結(jié)合圖形知?

m

，

n

＞與二面角B-A₁D-B₁相等，即?

m

，

n

＞=60°，
∴

1

1 a2 + 13 4

=

1

2

，
解得a=

2 3

3

，
故當a=

2 3

3

時，二面角B-A₁D-B₁為60°．

點評：此題重點考查了利用空間向量的坐標表示法內(nèi)容解決線線垂直的證明，還考查了二面角的大小與平面的法向量夾角之間的關(guān)系及利用方程的思想求解的方法．