Question

如圖揭示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R上的對(duì)應(yīng)過程：區(qū)間（0，1）內(nèi)的任意實(shí)數(shù)m與數(shù)軸上的線段AB（不包括端點(diǎn)）上的點(diǎn)M一一對(duì)應(yīng)（圖一），將線段AB圍成一個(gè)圓，使兩端A，B恰好重合（圖二），再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1）（圖三）．圖三中直線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），由此得到一個(gè)函數(shù)n=f（m），則下列命題中正確的序號(hào)是（　�。�
（1）f（

1

2

）=0；     
（2）f（x）是偶函數(shù)；   
（3）f（x）在其定義域上是增函數(shù)；
（4）y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，0）對(duì)稱．

• A、（1）（3）（4）
• B、（1）（2）（3）
• C、（1）（2）（4）
• D、（1）（2）（3）（4）

Answer 1

分析：借助于圖形來看四個(gè)選項(xiàng)，先利用f（

1

2

）=0，判斷出（1）對(duì)，因?qū)崝?shù)m所在區(qū)間（0，1）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，知（2）錯(cuò)；從圖形上可得f（x）在定義域上單調(diào)遞增，（3）對(duì)；先找到f（

1

2

）=0，再利用圖形判斷（4）對(duì)．

解答：解：如圖，因?yàn)樵谝詾閳A心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，對(duì)于①當(dāng)實(shí)數(shù)m=

1

2

時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在點(diǎn)A的正下方，此時(shí)點(diǎn)N（0，0），所以f（

1

2

）=0，即（1）對(duì)；
對(duì)于（2），因?yàn)閷?shí)數(shù)m所在區(qū)間（0，1）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f（x）不存在奇偶性．故（2）錯(cuò)．
對(duì)于（3），當(dāng)實(shí)數(shù)m越來越大時(shí)，如圖直線AM與x軸的交點(diǎn)N（n，0）也越來越往右，即n也越來越大，所以f（x）在定義域上單調(diào)遞增，即（3）對(duì)．
對(duì)于（4），因f（

1

2

）=0，再由圖形可知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，0）對(duì)稱，即（4）對(duì)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了在新定義的條件下解決函數(shù)問題，是一道很好的題．關(guān)于新定義型的題，關(guān)鍵是理解定義，并會(huì)用定義來解題．