Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=a（a＞0），數列{b_n}滿足：b_n=a_na_n+2（n∈N^*）
（1）若數列{a_n}是等差數列，且b₃=45，求a的值及數列{a_n}通項公式；
（2）若數列{a_n}的等比數列，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）先根據{a_n}是等差數列表示出通項公式，再根據b₃=45求得a₃a₅的值從而可確定a的值，求得{a_n}的通項公式．
（2）先根據{a_n}是等比數列表示出通項公式，進而可表示出b_n的表達式，再對公比a等于1和不等于1進行討論，即可得到最后答案．

解答： 解：（1）∵{a_n}是等差數列，a₁=1，a₂=a（a＞0），∴a_n=1+（n-1）（a-1）．
又b₃=45，∴a₃a₅=45，即（2a-1）（4a-3）=45，
解得a=2或a=-

7

4

（舍去），…（5分）
∴a_n=2n-1．…（7分）
（2））∵{a_n}是等比數列，a₁=1，a₂=a（a＞0），∴a_n=a^n-1，則b_n=a_na_n+2=a²ⁿ．
∴當a=1時，S_n=n；
當a≠1時，S_n=

a2(1-a2n)

1-a2

．…（14分）

點評：本題主要考查數列的通項公式的求法和數列求和．高考對數列的考查無外乎通項公式的求法和前n項和的求法，對經常用到的常用方法要熟練掌握．