Question

已知復(fù)平面內(nèi)的A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是z₁=sin²θ+i，z₂=-cos²θ+icos2θ，其中θ∈（0，π），設(shè)

AB

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是z．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在直線y=

1

2

x上，求θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）設(shè)z=x+yi，x、y∈R，則由題意根可得 x=-1，y=cos2θ-1，從而求得z的值．
（2）由于復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在直線y=

1

2

x上，求得cos2θ的值，可得2θ的值，從而求得θ的值．

解答： 解：（1）設(shè)z=x+yi，x、y∈R，則由題意可得 x=-cos²θ-sin²θ=-1，y=cos2θ-1，
∴z=-1+（cos2θ-1）i．
（2）由于復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在直線y=

1

2

x上，故有cos2θ-1=-

1

2

，∴cos2θ=

1

2

，
再結(jié)合θ∈（0，π），可得2θ=

π

3

或2θ=

5π

3

，∴θ=

π

6

 或θ=

5π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．