Question

設命題q：在x∈（0，2]內，不等式x²-

x

m

+3≥0恒成立；命題q：方程

x2

m-3

+

y2

5-m

=1表示雙曲線．
（1）若命題q為真命題，求實數m的取值范圍；
（2）若命題：“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用求函數f（x）=x²-

x

m

+3，在x∈（0，2]時的最小值的方法，分類討論解答即可；
（2）先求出命題q為真命題時，m的取值范圍，再根據復合命題真值表求解即可．

解答：解：（1）設函數f（x）=x²-

x

m

+3，在x∈（0，2]時的最小值為g（m），
①當對稱軸x=

1

2m

≤0時，即m＜0時，∵f（0）=3＞0，∴不等式x²-

x

m

+3≥0恒成立；
②當x=

1

2m

≥2時，即0＜m≤

1

4

時，g（m）=f（2）=4-

2

m

+3=7-

2

m

≥0?m≥

2

7

或m＜0，
∴此時m∈∅；
③當0＜

1

2m

＜2，即m＞

1

4

時，g（m）=3-

1

4m2

≥0?m≥

3

6

．
 綜上：命題q為真命題，實數m的取值范圍是m＜0或m≥

3

6

．
（2）命題q為真命題的m的取值范圍是（m-3）（5-m）＜0?m＞5或m＜3，
∵“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，根據復合命題真值表得：命題P、命題q一真一假，

故m的取值范圍是：3≤m≤5或0≤m＜

3

6

．

點評：本題借助考查復合命題的真假判定，考查不等式的恒成立問題，不等式的恒成立問題可結合函數，利用數形結合思想來分析解答．