Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點(diǎn)．
（1）求證：AB₁⊥面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的余弦值；
（3）求點(diǎn)C到平面A₁BD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知可取正三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)O，得到AO⊥平面BCC₁B₁．取B₁C₁中點(diǎn)O₁，以O(shè)為原點(diǎn)，

OB

，

OO1

，

OA

的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
求出平面A₁BD內(nèi)的兩個(gè)向量的坐標(biāo)，由數(shù)量積為0得到向量垂直，進(jìn)一步得到線線垂直，則線面垂直；
（2）設(shè)出平面A₁AD的法向量，由數(shù)量積為0求解該法向量，結(jié)合（Ⅰ）可知

AB1

為平面A₁BD的法向量，然后直接由兩向量所成角的余弦值得二面角A-A₁D-B的余弦值；
（3）直接由向量求點(diǎn)到平面的距離公式得答案．

解答： （Ⅰ）證明：取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO．
∵△ABC為正三角形，
∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁．
取B₁C₁中點(diǎn)O₁，以O(shè)為原點(diǎn)，

OB

，

OO1

，

OA

的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），D（-1，1，0），A1(0，2，

3

)，A(0，0，

3

)，B₁（1，2，0），
∴

AB1

=(1，2，-

3

)，

BD

=(-2，1，0)，

BA1

=(-1，2，

3

)．
∵

AB1

•

BD

=-2+2+0=0，

AB1

•

BA1

=-1+4-3=0，
∴

AB1

⊥

BD

，

AB1

⊥

BA1

．
∴AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）解：設(shè)平面A₁AD的法向量為

n

=（x，y，z）．

AD

=(-1，1，-

3

)，

AA1

=(0，2，0)．
∵n⊥

AD

，n⊥

AA1

，
∴

n• AD =0 n• AA1 =0

，
∴

-x+y- 3 z=0 2y=0

，
∴

y=0 x=- 3 z

．
令z=1得平面A₁AD的一個(gè)法向量

n

=(-

3

，0，1)．

由（Ⅰ）知AB₁⊥平面A₁BD，
∴

AB1

為平面A₁BD的法向量．
cos＜n，

AB1

＞=

n• AB1

|n|•| AB1 |

=

- 3 - 3

2•2 2

=-

6

4

．
∴二面角A-A₁D-B的大小為θ，
∴cosθ=

6

4

；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，

AB1

 為平面A₁BD法向量，
∵

BC

=(-2，0，0)，

AB1

=(1，2，-

3

)．
∴點(diǎn)C到平面A₁BD的距離d=

| BC • AB1 |

| AB1 |

=

|-2|

2 2

=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間直線與平面垂直的判斷，考查了空間中點(diǎn)到平面的距離計(jì)算，訓(xùn)練了利用向量求解空間角和距離問題，是中檔題．