Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ex．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）求證：（n∈N^*）；
（Ⅲ）對于函數(shù)h（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，b，使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b都成立，則稱直線y=kx+b為函數(shù)h（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)函數(shù)，g（x）=elnx，h（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出k，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）解：因?yàn)閒'（x）=e^x-e，
令f'（x）=e^x-e＞0，解得x＞1，
令f'（x）=e^x-e＜0，解得x＜1，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）上遞減，（1，+∞）上遞增，
所以f（x）的最小值為f（1）=0． …（3分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）在x=1取得最小值，
所以f（x）≥f（1），
即e^x≥ex
兩端同時(shí)乘以得e^x-1≥x，
把x換成t+1得e^t≥t+1，
當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)等號成立．
由e^t≥t+1得，e¹＞1+1=2，，
，
…
，．
將上式相乘得
．…（9分）
（Ⅲ）設(shè)．
則．
所以當(dāng)時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0；
當(dāng)時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0．
因此時(shí)F（x）取得最小值0，
則h（x）與g（x）的圖象在處有公共點(diǎn)．
設(shè)h（x）與g（x）存在“分界線”，
方程為．
由在x∈R恒成立，
則在x∈R恒成立．
所以成立．
因此．
下面證明（x＞0）成立．
設(shè)，
．
所以當(dāng)時(shí)，G'（x）＞0；
當(dāng)時(shí)，G'（x）＜0．
因此時(shí)G（x）取得最大值0，
則（x＞0）成立．
所以，．…（14分）
分析：（Ⅰ）因?yàn)閒'（x）=e^x-e，令f'（x）=e^x-e＞0，解得x＞1，令f'（x）=e^x-e＜0，解得x＜1，由此能求出f（x）的最小值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）在x=1取得最小值，所以f（x）≥f（1），即e^x≥ex，兩端同時(shí)乘以得e^x-1≥x，把x換成t+1得e^t≥t+1，當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)等號成立．由此能夠證明（n∈N^*）．
（Ⅲ）設(shè)．則．所以當(dāng)時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0；當(dāng)時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0．因此時(shí)F（x）取得最小值0，則h（x）與g（x）的圖象在處有公共點(diǎn)．由此能夠?qū)С?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18433.png' />，．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最大值和最小值中的應(yīng)用和用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．