已知為橢圓上的三個點，為坐標原點.

（1）若所在的直線方程為，求的長；

（2）設為線段上一點，且，當中點恰為點時，判斷的面積是否為常數(shù)，并說明理由.

 

（1）;（2）定值為

【解析】

試題分析：（1）因為求所在的直線方程為與橢圓方程相交所得的弦長.一般是通過聯(lián)立兩方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，可以解得兩個交點的坐標的橫坐標，確定點的坐標，從而根據(jù)兩點的距離公式求出弦長.

（2）直線與圓的位置關系，首先考慮直線的斜率是否存在，做好分類的工作.若當斜率存在時，通過聯(lián)立方程，應用韋達定理知識，求出弦長，利用點到直線的距離公式求出三角形的高的長.從而寫出三角形的面積（含斜率的等式）.再根據(jù)的關系求出點P的坐標，帶到橢圓方程中，即可求出含斜率的一個等式，從而可得結論.

試題解析：（1）由 得，

解得或，

所以兩點的坐標為和所以.

（2）①若是橢圓的右頂點（左頂點一樣），則，

因為，在線段上，所以，求得，

所以的面積等于.

②若B不是橢圓的左、右頂點，設，，

由 得

，，

所以，的中點的坐標為，

所以，代入橢圓方程，化簡得.

計算.

因為點到的距離

所以，的面積.

綜上，面積為常數(shù).

考點：1.直線與橢圓的位置關系.2.弦長公式.3.點到直線的距離公式.4.向量的知識.5.整體的解題思想.6.過定點的問題.

 

練習冊系列答案
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已知直線與雙曲線，有如下信息：聯(lián)立方程組：, 消去后得到方程，分類討論：（1）當時，該方程恒有一解；（2）當時，恒成立。在滿足所提供信息的前提下，雙曲線離心率的取值范圍是

A． B．

C． D．

 

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（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件

（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件

 

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（1）求證：平面；

（2）求證：.

 

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①對于任意給定的點，存在點，使得；

②對于任意給定的點，存在點，使得；

③對于任意給定的點，存在點，使得；

④對于任意給定的點，存在點，使得．

其中正確結論的個數(shù)是（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

 

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