【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.

(1)求橢圓的方程；

(2)設直線與圓相切，與橢圓相交于兩點，求證：是定值.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）利用離心率可得，進而得到；將點代入橢圓方程可求得，從而得到橢圓方程；

（2）①當直線斜率不存在時，可求得坐標，從而得到，得到；②當直線斜率存在時，設直線方程為，由直線與圓相切可得到；將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得到韋達定理的形式，從而表示出，整理可得，得到；綜合兩種情況可得到結(jié)論.

（1）由題意得：，即 橢圓方程為

將代入橢圓方程得：

橢圓的方程為：

（2）①當直線斜率不存在時，方程為：或

當時，，，此時

當時，同理可得

②當直線斜率存在時，設方程為：，即

直線與圓相切 ，即

聯(lián)立得：

設， ，

代入整理可得：

綜上所述：為定值

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】世界衛(wèi)生組織的最新研究報告顯示，目前中國近視患者人數(shù)多達6億，高中生和大學生的近視率均已超過七成，為了研究每周累計戶外暴露時間（單位：小時）與近視發(fā)病率的關系，對某中學一年級200名學生進行不記名問卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

每周累積戶外暴露時間（單位：小時）

不少于28小時

近視人數(shù)

21

39

37

2

1

不近視人數(shù)

3

37

52

5

3

（1）在每周累計戶外暴露時間不少于28小時的4名學生中，隨機抽取2名，求其中恰有一名學生不近視的概率；

（2）若每周累計戶外暴露時間少于14個小時被認證為“不足夠的戶外暴露時間”，根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，并根據(jù)（2）中的列聯(lián)表判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為不足夠的戶外暴露時間與近視有關系？

近視

不近視

足夠的戶外暴露時間

不足夠的戶外暴露時間

附:

P

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求在上的最值；

（2）若，當有兩個極值點時，總有，求此時實數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點， 軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標為．

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若曲線和曲線有三個公共點，求以這三個公共點為頂點的三角形的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F2，焦距為2，一條準線方程為x=2．P為橢圓C上一點，直線PF1交橢圓C于另一點Q．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點P的坐標為（0，b），求過點P，Q，F2三點的圓的方程；

（3）若=，且λ∈[]，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若在區(qū)間上存在不相等的實數(shù),使成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）若函數(shù)有兩個不同的極值點，，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】每年六、七月份，我國長江中下游地區(qū)進入持續(xù)25天左右的梅雨季節(jié)，如圖是江南某地區(qū)年10年間梅雨季節(jié)的降雨量單位：的頻率分布直方圖，試用樣本頻率估計總體概率，解答下列問題：

假設每年的梅雨季節(jié)天氣相互獨立，求該地區(qū)未來三年里至少有兩年梅雨季節(jié)的降雨量超過350mm的概率．

老李在該地區(qū)承包了20畝土地種植楊梅，他過去種植的甲品種楊梅，平均每年的總利潤為28萬元而乙品種楊梅的畝產(chǎn)量畝與降雨量之間的關系如下面統(tǒng)計表所示，又知乙品種楊梅的單位利潤為元，請你幫助老李分析，他來年應該種植哪個品種的楊梅可以使總利潤萬元的期望更大？并說明理由．

降雨量

畝產(chǎn)量

500

700

600

400

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在數(shù)列 中，已知 ，為常數(shù).

(1)證明: 成等差數(shù)列;

(2)設 ，求數(shù)列的前n項和 ；

(3)當時，數(shù)列 中是否存在不同的三項成等比數(shù)列，

且也成等比數(shù)列?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知兩點、，點是直角坐標平面上的動點，若將點的橫坐標保持不變、縱坐標擴大到倍后得到點，且滿足．

（1）求動點所在曲線的方程；

（2）過點作斜率為的直線交曲線于、兩點，且滿足，又點關于原點的對稱點為點，求點、的坐標．

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