如圖,邊長為2的正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直,AD與CE的交點為M,,且AC=BC.
(1)求證:平面EBC;
(2)求二面角的大小.
(1)祥見解析;(2) .
【解析】
試題分析:由已知四邊形是正方形 ,知其兩條對角線互相垂直平分,且,又因為平面平面,平面,故可以以點為原點,以過點平行于的直線為軸,分別以直線和為軸和軸,建立如圖所示的空間直角坐標系;又因為正方形ACDE的邊長為2,且三角形ABC是以角C為直角的直角三角形,從而就可以寫出點A,B,C,E及點M的空間直角坐標;則(1)求出向量的坐標,從而可證,這樣就可證明直線AM與平面EBC內的兩條相交直線垂直,故得直線AM與平面EBC垂直;(2)由(1)知是平面EBC的一個法向量,其坐標已求,再設平面EAB的一個法向量為,則由且,可求得平面EAB的一個法向量;從而可求出所求二面角的兩個面的法向量夾角的余弦值,由圖可知所求二面角為銳二面角,故二面角的余弦值等于兩個面的法向量夾角余弦值的絕對值,從而就可求得所求二面角的大。肀绢}也可用幾何方法求解證明.
試題解析:∵四邊形是正方形 , ,
∵平面平面,平面,
∴可以以點為原點,以過點平行于的直線為軸,
分別以直線和為軸和軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.
設,則,
是正方形的對角線的交點,.
(1) ,,,
,
平面.
(2) 設平面的法向量為,則且,
且.
即
取,則, 則.
又∵為平面的一個法向量,且,
,
設二面角的平面角為,則,
∴二面角等于.
(1) ,(2)均可用幾何法
考點:1.線面垂直;2.二面角.
科目:高中數學 來源:2015屆甘肅省高二下學期期末考試理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
在極坐標系中,圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為( ).
A. 和
B. 和
C. 和
D.和
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科目:高中數學 來源:2015屆甘肅省高二下學期期末考試理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
設 f′(x) 是f(x)的導函數,f′(x)的圖象如下圖,則f(x)的圖象只可能是 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數學 來源:2015屆甘肅省高二下學期期末考試文科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
若對任意x∈R,不等式|x|≥ax恒成立,則實數a的取值范圍是( )
A.a<-1 B.|a|≤1 C.|a|<1 D.a≥1
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