Question

設(shè)函數(shù)f（x）=p（x-）-2lnx，g（x）=x²，
（I）若直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象相切于點(diǎn)（1，0），求實(shí)數(shù)p的值；
（II）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）分別求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，利用直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切，求出它們導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．
（II）f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則說(shuō)明導(dǎo)數(shù)f'（x）＞0，或f'（x）＜0，恒成立．
解答：解：（Ⅰ）方法一：∵，∴f'（1）=2p-2．
設(shè)直線，并設(shè)l與g（x）=x²相切于點(diǎn)M（x，y）
∵g'（x）=2x，∴2x=2p-2，解得
∴，
代入直線l方程解得p=1或p=3．
方法二：將直線方程l代入y=x²得2（p-1）（x-1）=0，
∴△=4（p-1）²-8（p-1）=0，
解得p=1或p=3．
（Ⅱ）∵=．．
①要使f（x）為單調(diào)增函數(shù)，f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即px²-2x+p≥0在（0，+∞）恒成立，即在（0，+∞）恒成立，
又，所以當(dāng)p≥1，此時(shí)f（x）在（0，+∞）為單調(diào)增函數(shù)；   
②要使f（x）為單調(diào)減函數(shù)，須f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
即在（0，+∞）恒成立，即，（0，+∞）恒成立，又，所以p≤0．當(dāng)p≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）為單調(diào)減函數(shù)．
綜上，若f（x）在（0，+∞）為單調(diào)函數(shù)，則p的取值范圍為p≥1或p≤0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，要正確理解函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．當(dāng)函數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，得f'（x）≥0，不能漏掉等號(hào)．