Question

設數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=b₁=6,a₂=b₂=4,a₃=b₃=3,且數(shù)列{a_n+1-a_n}{n∈N^*}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n-2}{n∈N^*}是等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；

（2）是否存在k∈N^*,使a_k-b_k∈(0,)?若存在，求出k，若不存在，說明理由.

Answer 1

解:（1）由已知a₂-a₁=-2,a₃-a₂=-1,-1-(-2)=1.

∴a_n+1-a_n=(a₂-a₁)+(n-1)×1=n-3.

n≥2時，

a_n=(a_n- a_n-1)+…+（a₃-a₂）+(a₂-a₁)+a₁=(n-4)+(n-5)+…(-1)+(-2)+6=.

n=1也合適.

∴a_n=,n∈N^*.

又b₁-2=4,b₂-2=2,

而=,

∴b_n-2=（b₁-2）×（）^n-1,

即b_n=2+8×（）ⁿ.

∴數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式為a_n=，b_n=2+2^3-n.

（2）設f(k)=a_k-b_k=k²-k+7-8·（）^k=（k-）²+-8·（12）^k.

當k≥4時12（k-72）²+78為k的增函數(shù)，-8×（12）^k也為k的增函數(shù)，而f（4）=12，

∴當k≥4時，a_k-b_k≥,

又f(1)=f(2)=f(3)=0.

∴不存在k,使f(k)∈(0, ).