已知平行四邊形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是線段AD的中點(diǎn).沿BD將△BCD翻折到△,使得平面
⊥平面ABD.
(Ⅰ)求證:平面ABD;
(Ⅱ)求直線與平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
(Ⅰ)先證 (Ⅱ)
(Ⅲ)
【解析】
試題分析:(Ⅰ)平行四邊形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,
沿直線BD將△BCD翻折成△
可知CD=6,BC’=BC=10,BD=8,
即,
故.
∵平面⊥平面
,平面
平面
=
,
平面
,
∴平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面ABD,且
,
如圖,以D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系.
則,
,
,
.
∵E是線段AD的中點(diǎn),
∴,
.
在平面中,
,
,
設(shè)平面法向量為
,
∴,即
,
令,得
,故
.
設(shè)直線與平面
所成角為
,則
.
∴直線與平面
所成角的正弦值為
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面的法向量為
,
而平面的法向量為
,
∴,
因?yàn)槎娼?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060709044984864991/SYS201306070905210048314252_DA.files/image036.png">為銳角,
所以二面角的余弦值為
.
考點(diǎn):用空間向量求平面間的夾角;直線與平面垂直的判定.
點(diǎn)評(píng):本題重點(diǎn)考查線面垂直、線面角與二面角的平面角,以及翻折問(wèn)題,學(xué)生必須要掌握在翻折的過(guò)程中,哪些是不變的,哪些是改變,這也是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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a |
OB |
b |
OC |
c |
OH |
h |
a |
b |
c |
h |
AH |
BC |
h |
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