Question

設(shè)經(jīng)過雙曲線x2-

y2

3

=1的左焦點(diǎn)F₁作傾斜角為

π

6

的直線與雙曲線左右兩支分別交于點(diǎn)A，B．求
（I）線段AB的長；
（II）設(shè)F₂為右焦點(diǎn)，求△F₂AB的周長．

Answer 1

分析：（I）求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程；將直線的方程代入雙曲線的方程，利用兩點(diǎn)的距離公式求出|AB|．
（II）利用焦半徑公式求出|F₂A|，|F₂B|；利用韋達(dá)定理求出）|F₂A|，|F₂B|的和，求出三角形的周長．

解答：解：（I）F₁（-2，0）
k=tan

π

6

=

3

3

設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
將直線AB：y=

3

3

(x+2)代入3x²-y²-3=0
整理得8x²-4x-13=0
由距離公式|AB|=

1+k2

△

8

=3（6分）
（II）|F₂A|=2x₁-1，|F₂B|=1-2x₂
∴|F2A|+|F2B|=2(x1-x2)=2•

(x1+x2)2-4x1x2

=2•

3

2

3

=3

3

∴△F2AB的周長L=3+3

3

（12分）

點(diǎn)評：解決直線與圓錐曲線的弦長問題常將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用弦長公式|AB|=

1+k2

△

8

．