Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AB和AA₁的中點(diǎn)，則下列命題：
①E、C、D₁、F四點(diǎn)共面；  ②CE、D₁F、DA三線共點(diǎn)；③EF和BD₁所成的角為90°；④A₁B∥平面CD₁E中，正確的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離,簡(jiǎn)易邏輯

分析：由三角形中位線的性質(zhì)得到EF∥A₁B，進(jìn)一步得到EF∥D₁C判斷①；
由三個(gè)平面兩兩相交若有三條交線，交線要么相交于一點(diǎn)，要么互相平行判斷②；
由異面直線所成角的概念判斷③；由線面平行的判定定理判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，由E，F(xiàn)分別為AB，AA₁的中點(diǎn)，可得EF∥A₁B，又D₁C∥A₁B，∴EF∥D₁C，則E、C、D₁、F四點(diǎn)共面，命題①正確；
對(duì)于②，由D₁FEC為平面圖形，且D₁F與CE相交，可得CE、D₁F、DA三線共點(diǎn)，命題②正確；
對(duì)于③，EF和BD₁所成的角等于∠A₁BD₁，小于90°，命題③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由EF∥A₁B可得A₁B∥平面CD₁E，命題④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了空間中的線面關(guān)系，訓(xùn)練了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．