Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-m．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，方程f（x）=0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，方程f（x）=0有實(shí)數(shù)解，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-m．
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$-m=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}-m$．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．
（2）由x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}-m$．
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
方程f（x）=0有實(shí)數(shù)解，即sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}+m$．
∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}$≤$\frac{1}{2}+m$≤1．
解得：$-\frac{\sqrt{3}+1}{2}$≤m≤$\frac{1}{2}$，
故得實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$-\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．