Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+

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bx²（a，b∈R，a＞b且a≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）試寫出a與b的關(guān)系式；
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[b，a]上有最大值為a-b²，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，即可得到a，b的關(guān)系式；
（2）令f′（x）＞0得增區(qū)間，令f′（x）＜0得減區(qū)間，進(jìn)而得到極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，對(duì)a討論，①當(dāng)0＜a≤3時(shí)，②當(dāng)a＞3時(shí)，求得最大值，解方程即可得到所求a的值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=ax³+

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bx²（a，b∈R，a＞b且a≠0）
的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3ax²+3bx，
由圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行，
知f′（2）=0，∴b=-2a；
（2）令f′（x）=3ax²+3bx，=3ax²-6ax=0，
得x=0或x=2．
∵a＞b，∴a＞0，b＜0，令f′（x）＞0得x＜0或x＞2，
令f′（x）＜0，得0＜x＜2，于是f（x）在（-∞，0）為增，在（0，2）為減，
（2，+∞）為增，∴x=0為f（x）的極大值點(diǎn)，x=2是極小值點(diǎn)，
令f（x）=f（0）=0，得x=0或x=3，
①當(dāng)0＜a≤3時(shí)，f（x）_max=f（0）=0，∴a-b²=0，
又b=-2a，0＜a≤3，解得a=

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；
②當(dāng)a＞3時(shí)，f（x）_max=f（a）=a⁴-3a³，
∴a⁴-3a³=a-b²，代入b=-2a
得a³-3a²+4a-1=0．
記g（a）=a³-3a²+4a-1，
∵g′（a）=3a²-6a+4=3（a-1）²+1＞0，
∴g（a）在R上是增函數(shù)，又a＞3，∴g（a）＞g（3）=11＞0，
∴g（a）=0在（3，+∞）上無實(shí)數(shù)根．
綜上，a的值為

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．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．