Question

已知動圓C經過坐標原點O，且圓心C在直線l：2x+y=4上．
（1）求半徑最小時的圓C的方程；
（2）求證：動圓C恒過一個異于點O的定點．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可設圓心的坐標為（a，4-2a），又因為動圓C經過坐標原點O，所以動圓的半徑r=，根據二次函數的性質進而得到圓的方程．
（2）設定點坐標（x，y），可得x²-2ax+y²-2（4-2a）y=0，即a（4y-2x）+（x²+y²-8y）=0，利用過定點的知識可得：4y-2x=0且x²+y²-8y=0，進而得到定點．
解答：解：（1）因為圓心C在直線l：2x+y=4上，
所以設圓心的坐標為（a，4-2a）．
又因為動圓C經過坐標原點O，
所以動圓的半徑r=，所以半徑r的最小值為．
并且此時圓的方程為：（x-）²-（y-）²=．
（2）設定點坐標（x，y），因為圓的方程為：（x-a）²+[y-（4-2a）]²=a²+（4-2a）²
所以x²-2ax+y²-2（4-2a）y=0，
即a（4y-2x）+（x²+y²-8y）=0，
因為當a為變量時，x，y卻能使該等式恒成立，
所以只可能4y-2x=0且x²+y²-8y=0
即解方程組可得：y=，x=或者y=0，x=0（舍去）
所以圓C恒過一定點（，）．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握圓的標準方程，以及直線或者圓過定點的有關知識．