Question

已知(

3	x

+ax2)2n的展開式記為R，（3x-1）ⁿ的展開式記為T．已知R的奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和比T的偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和大496．
（1）求R中二項式系數(shù)最大的項；
（2）求R中的有理項；
（3）確定實數(shù)a的值使R，T中有相同的項，并求出相同的項．

Answer 1

由題意2^2n-1-2^n-1=496，解得n=5
（1）由已知(

3	x

+ax2)2n的展開式中第六項的二項式系數(shù)最大，結果為

C

510

(ax2)5(

3	x

)5=252a5x

35

3

（2）R展開式的通項公式Tr+1=

C

r10

(

3	x

)10-r(ax2)r
由

10-r

3

+2r∈z且0≤r≤10，所以r=1，4，7，10
故R中的有理項為T₂=10ax⁵，T₅=210a⁴x¹⁰，T₈=120a⁷x¹⁵，T₁₁=a¹⁰x²⁰
（3）T展開式的通項公式S_t+1=C₅^t（3x）^5-t（-1）^t
由

10-r

3

+2r=5-t即3t=5（1-r）
所以r=1-

3

5

t
又0≤r≤10，0≤t≤5，可得t=0
當t=0時，r=1，此時10a=3⁵，得a=

243

10

故a=

243

10

時R，T中有相同的項．