Question

設定義在R上的函數(shù)，若關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有5個不同實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是

1. A.
   （0，1）
2. B.
   （-∞，-1）
3. C.
   （1，+∞）
4. D.
   （-∞，-2）∪（-2，-1）

Answer 1

D
分析：題中原方程f²（x）+af（x）+b=0有且只有5個不同實數(shù)解，即要求對應于f（x）=某個常數(shù)有3個不同實數(shù)解，故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖，由圖可知，只有當f（x）=1時，它有三個根．且當f（x）=k，K＞0且k≠1時，關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有5個不同實數(shù)解，據(jù)此即可求得實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：∵題中原方程f²（x）+af（x）+b=0有且只有5個不同實數(shù)解，
∴即要求對應于f（x）等于某個常數(shù)有3個不同實數(shù)解，
∴故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖：
由圖可知，只有當f（x）=1時，它有三個根．
故關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0中，
有：1+a+b=0，b=-1-a，
且當f（x）=k，k＞0且k≠1時，關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有5個不同實數(shù)解，
∴k²+ak-1-a=0，
a=-1-k，∵k＞0且k≠1，
∴a∈（-∞，-2）∪（-2，-1）
故選D．
點評：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．