Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a²_n+a_n=2S_n
（1）求a₁
（2）求數(shù)列{a_n}的通項；
（3）若b_n=

1

an2

（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…b_n，求證：T_n＜

5

3

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）a²_n+a_n=2S_n中令n=1求a₁
（2）又a²_n+a_n=2S_n有a²_n+1+a_n+1=2S_n+1，兩式相減得并整理得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，數(shù)列{a_n}是以a₁=1，公差為1的等差數(shù)列，以此求數(shù)列{a_n}的通項；
（3）由（2）得出a_n=n，利用放縮法求證：T_n＜

5

3

．

解答： 解：（1）令n=1，得a₁²+a₁=2S₁=2a₁，∵a₁＞0，∴a₁=1，
（2）又a²_n+a_n=2S_n，
有a²_n+1+a_n+1=2S_n+1，
兩式相減得并整理得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1，∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1，公差為1的等差數(shù)列，
通項公式為a_n=1+（n-1）×1=n；
（3）n=1時b₁=1＜

5

3

符合…（9分）
n≥2時，因為

1

n2

＜

1

n2- 1 4

=

4

4n2-1

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
所以T_n=b₁+b₂+…b_n＜1+2（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=1+

2

3

=

5

3

∴T_n＜

5

3

．

點評：本題考查等差數(shù)列的判定與通項公式求解，不等式的證明，是數(shù)列與不等式的結合．