Question

若函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x+5在區(qū)間（

1

3

，

1

2

）上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間（

1

3

，

1

2

）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，分兩種情況①若只有一個(gè)零點(diǎn)；②若有兩個(gè)不同零點(diǎn)，進(jìn)行討論，綜合可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=x³+ax²-2x+5
∴f′（x）=3x²+2ax-2
根據(jù)題意，函數(shù)在區(qū)間（

1

3

，

1

2

）上至少有一個(gè)零點(diǎn)
①若只有一個(gè)零點(diǎn)，f′（

1

3

）f′（

1

2

）＜0，得a∈（

5

4

，

5

2

），
②若有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則

f′( 1 3 )＞0 f′( 1 2 )＞0 △＞0 1 3 ＜- a 3 ＜ 1 2

，解得：a∈∅，
綜上：a∈（

5

4

，

5

2

），
故答案為：（

5

4

，

5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性，從而求參數(shù)a的取值范圍，屬于中檔題．解題時(shí)應(yīng)該注意導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論，以免出現(xiàn)只一個(gè)零點(diǎn)的誤解．