Question

函數(shù)f(x)=x²-2x-3，定義數(shù)列{x_n}如下：x₁=2，x_n+1是過兩點(diǎn)P（4,5）、Q_n(x_n,f(x_n))的直線PQ_n與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
（Ⅰ）證明：2 x_n＜x_n+1＜3；
（Ⅱ）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式。

Answer 1

見解析

解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明

（2）

【命題意圖】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式以及函數(shù)與數(shù)列的相結(jié)合的綜合運(yùn)用。先從函數(shù)入手，表示直線方程，從而得到交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合數(shù)列的知識(shí)解決。
【點(diǎn)評(píng)】以函數(shù)為背景，引出點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的得到數(shù)列的通項(xiàng)公式。
既考查了直線方程，又考查了函數(shù)解析式，以及不等式的證明，試題比較綜合，有一定的難度。做這類試題那就是根據(jù)已知條件，一步一步的翻譯為代數(shù)式，化簡(jiǎn)得到要找的關(guān)系式即可。