Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓的下頂點為，右焦點為，離心率為.已知點是橢圓上一點，當(dāng)直線經(jīng)過點時，原點到直線的距離為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與圓：相交于點（異于點），設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為，直線與橢圓相交于點（異于點）．①若，求的面積；②設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證：是定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）運用橢圓的離心率公式以及點到直線的距離公式，解方程可得，，，進(jìn)而得到所求橢圓方程；（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得的坐標(biāo)，聯(lián)立圓方程可得的坐標(biāo)，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為，求得的坐標(biāo)，①由可得，求得，坐標(biāo)，以及，，由的面積為，計算可得；②運用兩點的斜率公式，分別計算線的斜率為，直線的斜率為，即可得證.

（1）據(jù)題意，橢圓的離心率為，即.①

當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線的方程為，即，

由原點到直線的距離為，可知，

即.③

聯(lián)立①②可得，，，故.

所以橢圓的方程為.

（2）據(jù)題意，直線的斜率存在，且不為0，

設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，

聯(lián)立，整理可得，

所以或.

所以點的坐標(biāo)為，

聯(lián)立和，

整理可得，所以或.

所以點的坐標(biāo)為.

顯然，是圓的直徑，故，

所以直線的方程為.

用代替，得點的坐標(biāo)為，

即.

①由可得，，

即，解得.

根據(jù)圖形的對稱性，不妨取，

則點，的坐標(biāo)分別為，，

故，.

所以的面積為.

②證明：直線的斜率，

直線的斜率.

所以為定值，得證.