Question

已知函數(shù)，x∈[0，+∞）
（1）證明：函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，在上為單調(diào)增函數(shù)；
（2） 若x∈[0，a]，求f（x）的最大最小值．

Answer 1

解：（1）設(shè)x₁＞x₂≥0，則
=．
當(dāng)時(shí)，，
，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以函數(shù)f（x）在上為單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，
，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），所以函數(shù)f（x）在上為單調(diào)增函數(shù)．得證；
（2）解：①當(dāng)時(shí)，由（1）知函數(shù)f（x）在[0，a]上單調(diào)遞減，
所以f（x）_max=f（0）=2，f（x）_min=f（a）=2^a+2^1-a-1；
②當(dāng)時(shí)，由（1）知函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，且f（0）=f（1），
所以；
③當(dāng)a＞1時(shí)，由（1）知函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，且f（0）=f（1），
所以．
分析：（1）設(shè)x₁＞x₂≥0，表示出f（x₁）-f（x₂），化簡后，分兩種情況考慮：當(dāng)時(shí)，經(jīng)過判斷f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)為負(fù)，即得到f（x₁）＜f（x₂），所以函數(shù)在此區(qū)間為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，同理判斷出f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)為正，即得到f（x₁）＞f（x₂），所以函數(shù)在此區(qū)間為增函數(shù)，得證；
（2）分三種情況考慮：當(dāng)a大于0小于等于時(shí)，當(dāng)a大于小于等于1時(shí)及a大于1時(shí)，分別根據(jù)（1）證出的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到相應(yīng)函數(shù)的最大和最小值．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會(huì)利用做差法判斷兩個(gè)式子的大小，掌握函數(shù)單調(diào)的性質(zhì)，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，是一道綜合題．