Question

已知拋物線y²=8x的準(zhǔn)線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程是，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，且△FAB是直角三角形，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．-=1
B．x²-=1
C．-=1
D．-y²=1

Answer 1

【答案】分析：由題意已知拋物線y²=8x的準(zhǔn)線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，且△FAB是直角三角形，由圓錐曲線的對稱性可求得A，B的坐標(biāo)分別為（-2，±4），將此點(diǎn)代入雙曲線方程，得a，b的一個方程組，再由漸近線方程是，得到=，聯(lián)立即可求得a，b的值，既得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
解答：解：由題意拋物線y²=8x的準(zhǔn)線為x=-2，焦點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），又拋物線y²=8x的準(zhǔn)線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，△FAB是直角三角形知，A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，橫坐標(biāo)是-2，縱坐標(biāo)是4與-4，將坐標(biāo)（-2，±4）代入雙曲線方程得  ①
又由雙曲線的一條漸近線方程是，得=，②
由①②解得a=，b=4
所以雙曲線的方程是-=1
故選C
點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩個圓錐曲線本身的對稱性及拋物線y²=8x的性質(zhì)求出A，B的坐標(biāo)，得到關(guān)于參數(shù)a，b的方程，圓錐曲線在高中數(shù)學(xué)中是數(shù)形結(jié)合的最高點(diǎn)，做題時一定要注意從圖形上挖掘出有價值的線索來．