已知函數(shù)f（x）=loga（a-ax）（a＞1）
（1）求f（x）的定義域、值域；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明．

解：（1）由題意可得：a-ax＞0，即ax＜a，
∵a＞1，
∴由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：x＜1，
∴函數(shù)f（x）的定義域為：（-∞，1）．
∵0＜a-ax＜a，并且a＞1，
∴l(xiāng)oga（a-ax）＜1，
∴函數(shù)f（x）的值域為：（-∞，1）．
（2）減函數(shù)．
證明：∵函數(shù)f（x）=loga（a-ax），
∴f′（x）=，
∵a-ax＞0，-ax＜0，
∴f′（x）=＜0，
∴f（x）在定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)．
分析：（1）由題得：a-ax＞0，由a＞1并且結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：x＜1，由0＜a-ax＜a，并且a＞1，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到loga（a-ax）＜1，進而得到函數(shù)的定義域與值域．
（2）減函數(shù)．由函數(shù)的解析式可得：f′（x）=，再結(jié)合題中的條件得到函數(shù)的導數(shù)小于0，進而根據(jù)導數(shù)的意義得到函數(shù)的單調(diào)性．
點評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、復合函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)的定義域，值域，單調(diào)性，而證明函數(shù)的單調(diào)性可以利用單調(diào)性的定義或者利用導數(shù)的意義，此題是考試命題的熱點之一．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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