Question

如圖，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC=CE，點F為CE的中點．
（Ⅰ）證明：AE∥平面BDF；
（Ⅱ）點M為CD上的任意一點，在線段AE上是否存在點P，使得PM⊥BE？若存在，確定點P的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：

分析：（Ⅰ）連接AC交BD于O，連接OF，利用已知ABCD是矩形得到OF∥AE，再由線面平行的判定定理可證；
（Ⅱ）當P為AE中點時，有PM⊥BE；取BE中點H，連接DP，PH，CH，結合三角形的中位線性質以及面面平行的性質進行推理得到BE⊥平面DPHC即可．

解答： （Ⅰ）證明：連接AC交BD于O，連接OF，如圖

在△ACE中，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴O為AC的中點，又F為EC的中點，
∴OF∥AE，又OF?平面BDF，AE?平面BDF，
∴AE∥平面BDF．
（Ⅱ）解：當P為AE中點時，有PM⊥BE，
證明如下：取BE中點H，連接DP，PH，CH，
如圖
∵P為AE的中點，H為BE的中點，
∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，
∴P，H，C，D四點共面．
∵平面ABCD∥平面BCE，CD⊥BC
∴CD⊥平面BCE，又BE?平面BCE，
∴CD⊥BE∵BC=CE，H為BE的中點，
∴CH⊥BE，
∴BE⊥平面DPHC，又PM?平面DPHC，
∴BE⊥PM即PM⊥BE．

點評：本題考查了空間點線面的位置關系、線面平行和線面垂直的證明，考查了學生的空間想象能力、推理能力以及轉化的數(shù)學思想．