Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²+4x+1．
（Ⅰ）求當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）求滿足不等式f（x²-2）＜f（x）的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性性即可求出當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式f（x²-2）＜f（x）進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求x的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（-x）=x²-4x+1，…（2分）
又f（x）為奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x），…（4分）
即f（x）=-x²+4x-1．…（5分）
又f（-0）=-f（0），即f（0）=0，…（6分）
故當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=

-x2+4x-1，x＜0 0，               x=0.

．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在R上是增函數(shù)，…（9分）
∴f（x²-2）＜f（x）?x²-2＜x，…（10分）
即x²-x-2＜0…（11分）
解得-1＜x＜2．…（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查奇偶性的應(yīng)用以及不等式的求解，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．