Question

已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且對任意n∈N₊，有4a_n-3S_n=

1

3

（2²ⁿ⁺¹+1），
（1）求{

an

4n

}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

an

2n-2

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）討論n=1與n≥2兩種情況，利用遞推作差得到數(shù)列{

an

4n

}是首項(xiàng)為

3

4

，公差為

1

2

的等差數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得數(shù)列{

an

2n-2

}的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可知利用錯(cuò)位相消法進(jìn)行求和即可．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，4a₁-3S₁=

1

3

（2³+1），得a₁=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，
由4a_n-3S_n=

1

3

（2²ⁿ⁺¹+1），①
得4a_n-1-3S_n-1=

1

3

（2^2n-1+1），②
①-②得4a_n-4a_n-1-3a_n=2^2n-1，
即a_n=4a_n-1+2^2n-1，化為

an

4n

=

an-1

4n-1

+

1

2

，
∴數(shù)列{

an

4n

}是以

3

4

為首項(xiàng)，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，

an

4n

=

3

4

+（n-1）×

1

2

=

n

2

+

1

4

，
即

an

4n

=

n

2

+

1

4

；
（2）由（1）得：

an

2n-2

=（2n+1）2ⁿ，
∴T_n=3•2+5•2²+…+（2n+1）2ⁿ，③
2T_n=3•2²+5•2³+…+（2n+1）2ⁿ⁺¹，④
③-④得-T_n=6+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）2ⁿ⁺¹，
∴Tn=(2n-1)•2n+1+2．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的遞推公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，求數(shù)列的和．解題時(shí)要注意觀察所給表達(dá)式的特點(diǎn)，根據(jù)式子的特點(diǎn)判斷選用何種方法進(jìn)行解題．本題求通項(xiàng)公式選用了構(gòu)造新數(shù)列的方法求解，求和時(shí)選用了錯(cuò)位相減法，要注意錯(cuò)位相減法適用于一個(gè)等差數(shù)列乘以一個(gè)等比數(shù)列的形式．屬于中檔題．