Question

（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分6分

已知數(shù)列的首項(xiàng)為，記().

（1）若為常數(shù)列，求的值；

（2）若為公比為的等比數(shù)列，求的解析式；

（3）是否存在等差數(shù)列，使得對(duì)一切都成立?若存在，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）15，（2）（3）存在

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，，由組合數(shù)的性質(zhì)將其變形，再利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行求值; (2)對(duì)于恒成立的問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：

（1），（2）

試題解析：（1）∵為常數(shù)列，∴.

∴ 4分

（2）∵為公比為的等比數(shù)列，∴. 6分

∴，

∴， 8分

故. 10分

（3）假設(shè)存在等差數(shù)列，使得對(duì)一切都成立，設(shè)公差為，則 12分

且，

相加得 ，

∴

.

∴恒成立，

即 恒成立，∴. 15分

故能為等差數(shù)列，使得對(duì)一切都成立，它的通項(xiàng)公式為 16分

（也可先特殊猜想，后一般論證及其它方法相應(yīng)給分）.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理與數(shù)列的綜合.