如圖,已知長方形ABCD中,AB=2,AD=1,M為DC的中點(diǎn).將△ADM沿AM折起到△APM,使得平面APM⊥平面ABCM,點(diǎn)E在線段PB上,且PE=
1
3
PB.
(Ⅰ)求證:AP⊥BM
(Ⅱ)求二面角E-AM-P的大小.
考點(diǎn):與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(Ⅰ)由已知條件推導(dǎo)出BM⊥AM,從而得到BM⊥平面APM,由此能證明AP⊥BM.
(Ⅱ)取AM的中點(diǎn)O,AB的中點(diǎn)N,則OA,ON,OP兩兩垂直,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角E-AM-P的大。
解答: (Ⅰ)證明:∵ABCD為長方形,AD=1,AB=2,M為DC的中點(diǎn),
∴AM=
2
,BM=
2
,AB2=AM2+BM2,∴BM⊥AM,
又∵平面APM⊥平面ABCM,平面APM∩平面ABCM=AM,BM?平面ADM,
∴BM⊥平面APM,
又∵AP?平面APM,∴AP⊥BM.
(Ⅱ)解:取AM的中點(diǎn)O,AB的中點(diǎn)N,則OA,ON,OP兩兩垂直,
以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(
2
2
,0,0
),B(-
2
2
,
2
,0
),
M(-
2
2
,0,0
),P(0,0,
2
2
),N(0,
2
2
,0),
設(shè)E(x,y,z),由
PE
=
1
3
PB
,得(x,y,z-
2
2
)=
1
3
(-
2
2
,
2
,-
2
2
)

∴E(-
2
6
,
2
3
2
3
),
由題意
ON
為平面APM的一個(gè)法向量,令
ON
=
n
=(0,
2
2
,0)
,
設(shè)平面AME的一個(gè)法向量
m
=(a,b,c)
,
AM
=(-
2
,0,0)
,
AE
=(-
2
2
3
2
3
,
2
3
),
m
AM
=-
2
a=0
m
AE
=-
2
2
3
a+
2
3
b+
2
3
c=0
,
取b=1,tj
m
=(0,1,-1)
,
∴cos<
m
,
n
>=
2
2
,
∴二面角E-AM-P的大小為
π
4
點(diǎn)評:本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的大小的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
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直線mx+(2m-1)y+1=0和直線3x+my+3=0垂直,則實(shí)數(shù)m的值為(  )
A、1B、0C、2D、-1或0

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某大學(xué)有本科生8000人,其中一、二、三、四年級的學(xué)生比為5:4:3:1,要用分層抽樣的方法從所有本科生中抽取一個(gè)容量為260的樣本,則應(yīng)抽二年級的學(xué)生( 。
A、100人B、60人
C、80人D、20人

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已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),g(x)在R上是減函數(shù).求證:函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在R上是增函數(shù).

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甲乙兩個(gè)盒子里各放有標(biāo)號為1,2,3,4的四個(gè)大小形狀完全相同的小球,從甲盒中任取一小球,記下號碼x后放入乙盒,再從乙盒中任取一小球,記下號碼y,設(shè)隨機(jī)變量X=|x-y|.
(1)求y=2的概率;
(2)求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知2Sn+1=Sn+4(n∈N*),a1=2
(1)證明:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)bn=an2,{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,試比較
Sn2
Tn
與3的大;
(3)證明:不存在正整數(shù)n和大于4的正整數(shù)m使得等式am+1=
Sn+1-m
Sn-m
成立.

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某代表團(tuán)在某次人代會上準(zhǔn)備提交有關(guān)教育、醫(yī)療、環(huán)保、民生四個(gè)方面的議案共11條,提交之間要先在小組內(nèi)進(jìn)行逐條討論(任意一條被等可能的討論).假設(shè)在前兩條被討論的議案中至少有1條是教育類的概率是
34
55

(Ⅰ)求教育類的議案的條數(shù);
(Ⅱ)在先被討論的4條議案中,記教育類的條數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).

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已知函數(shù)f(x)=
a
x
+lnx(a∈R).
(1)求f(x)的最小值;
(2)當(dāng)a=2時(shí),求證:ln(n+1)+2
n
i+1
i
i+1
>nln(2e)(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)同時(shí)報(bào)名參加某重點(diǎn)高校2014年自主招生,高考前自主招生的程序?yàn)閷徍瞬牧虾臀幕瘻y試,只有審核過關(guān)后才能參加文化測試,文化測試合格者即可獲得自主招生入選資格.因?yàn)榧,乙,丙三人各有?yōu)勢,甲,乙,丙三人審核材料過關(guān)的概率分別為
1
2
,
3
5
,
2
5
,審核過關(guān)后,甲,乙,丙三人文化測試合格的概率分別為
3
5
1
2
,
3
4

(Ⅰ)求甲,乙,丙三人中只有一人獲得自主招生入選資格的概率;
(Ⅱ)設(shè)甲,乙,丙三人中材料審核過關(guān)的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和期望.

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