(2)寫出函數(shù)y=|x|的單調區(qū)間及其圖像的對稱軸,觀察:在函數(shù)圖像對稱軸兩側的單調性有什么特點?
(3)定義在[-4,8]上的函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=2對稱,y=f(x)的部分圖像如圖所示,請補全函數(shù)y=f(x)的圖像,并寫出其單調區(qū)間,觀察:在函數(shù)圖像對稱軸兩側的單調性有什么特點?
(4)由以上你發(fā)現(xiàn)了什么結論?試加以證明.
思路分析:本題探討函數(shù)的單調性的性質.利用歸納、猜想、證明的方法得到結論,用定義證明結論.
解:(1)函數(shù)y=x2-2x的單調遞減區(qū)間是(-∞,1),單調遞增區(qū)間是(1,+∞);對稱軸是直線x=1;區(qū)間(-∞,1)和區(qū)間(1,+∞)關于直線x=1對稱,單調性相反.
(2)函數(shù)y=|x|的單調遞減區(qū)間是(-∞,0),單調遞增區(qū)間是(0,+∞);對稱軸是y軸即直線x=0;區(qū)間(-∞,0)和區(qū)間(0,+∞)關于直線x=0對稱,單調性相反.
(3)函數(shù)y=f(x),x∈[-4,8]的圖像如圖所示.
函數(shù)y=f(x)的單調遞增區(qū)間是[-4,-1],[2,5];單調遞減區(qū)間是[5,8],[-1,2];區(qū)間[-4,-1]和區(qū)間[5,8]關于直線x=2對稱,單調性相反,區(qū)間[-1,2]和區(qū)間[2,5]關于直線x=2對稱,單調性相反.
(4)可以發(fā)現(xiàn)結論:如果函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=m對稱,那么函數(shù)y=f(x)在直線x=m兩側對稱單調區(qū)間內具有相反的單調性.證明如下:
不妨設函數(shù)y=f(x)在對稱軸直線x=m的右側一個區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),區(qū)間[a,b]關于直線x=m的對稱區(qū)間是[2m-b,2m-a].
由于函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=m對稱,則f(x)=f(2m-x).
設2m-b≤x1<x2≤2m-a,則b≥2m-x1>2m-x2≥a,
f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).
又∵函數(shù)y=f(x)在[a,b]上是增函數(shù),∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.
∴f(x1)-f(x2)>0.
∴f(x1)>f(x2).
∴函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2m-b,2m-a]上是減函數(shù).
∴當函數(shù)y=f(x)在對稱軸直線x=m的右側一個區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)時,在[a,b]關于直線x=m的對稱區(qū)間[2m-b,2m-a]上則是減函數(shù),即單調性相反.
因此有結論:如果函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=m對稱,那么函數(shù)y=f(x)在對稱軸兩側的對稱單調區(qū)間內具有相反的單調性.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(1)寫出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)證明:函數(shù)f(x)的圖象關于直線y=x?對稱;
(3)當x∈M時,函數(shù)f(x)的最大值為2+m2,最小值為2-,試確定集合M.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
設函數(shù)f(x)=loga(x-3a)(a>0且a≠1),當點P(x,y)是函數(shù)y=f(x)圖像上的點時,點Q(x-2a,-y)是函數(shù)y=g(x)圖像上的點.
(1)寫出函數(shù)y=g(x)的解析式;
(2)若當x∈[a+2,a+3]時,恒有|f(x)-g(x)|≤1,試確定a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011年山西省忻州市高一上學期聯(lián)考數(shù)學試卷A 題型:解答題
(本題滿分12分)
閱讀右圖的流程圖.
(1)寫出函數(shù)y = f (x)的解析式;
(2)由(1)中的函數(shù)y = f (x)表示的曲線與直線y =1圍成的三角
形的內切圓記為圓O,若向這個三角形內投擲一個點,求這
個點落入圓O內的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010年重慶市高一上學期期中考試數(shù)學試題 題型:解答題
(本小題滿分10分)
已知函數(shù),當點 (x,y)
是函數(shù)y = f (x) 圖象上的點時,點
是函數(shù)y =
g(x) 圖象上的點.
(1) 寫出函數(shù)y = g (x) 的表達式;
(2)
當g(x)-f (x)0時,求x的取值范圍;
(3)
當x在 (2) 所給范圍內取值時,求的最大值.
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