Question

如圖，△ABC在平面α內(nèi)，∠ACB=90°，AB=2BC=2，P為平面α外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PC=

3

，∠PBC=60°
（Ⅰ）問(wèn)當(dāng)PA的長(zhǎng)為多少時(shí)，AC⊥PB．
（Ⅱ）當(dāng)△PAB的面積取得最大值時(shí)，求直線BC與平面PAB所成角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出AC⊥BC，當(dāng)AC⊥PC時(shí)，AC⊥PB，由此能求出當(dāng)PA=

6

時(shí)，AC⊥PB．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出當(dāng)△PAB的面積取得最大值時(shí)，∠PBA=90°，從而能求出∠CBD就是直線BC與平面PAB所成角，由此能求出直線BC與平面PAB所成角的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
當(dāng)AC⊥PC時(shí)，AC⊥平面PBC，而PB?平面PBC，∴AC⊥PB，
此時(shí)，PA=

AC2+PC2

=

3+3

=

6

，
即當(dāng)PA=

6

時(shí)，AC⊥PB．
（Ⅱ）在△PBC中，∵PC=

3

，∠PBC=60°，BC=1，
∴BC⊥PC，當(dāng)△PAB的面積取得最大值時(shí)，∠PBA=90°，
如圖，在Rt△PBA中，∵AB=PB=2，∴BD=

2

，
又在Rt△BCD中，∵BC=1，∴CD=1，
∵PA⊥平面BCD，∴平面BCD⊥平面PBA，
∴∠CBD就是直線BC與平面PAB所成角，
在Rt△BCD中，∵BC=CD=1，∴∠CBD=45°，
∴直線BC與平面PAB所成角的大小為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的條件的判斷，考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．