Question

已知函數f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）求方程f（x）=1的解集．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質,對數的運算性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）x需滿足：

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，可得函數的定義域；
（2）計算f（-x），觀察是否等于±f（x），再由奇偶性定義即可得到；
（3）方程f（x）=1可化為lg（1+x）-lg（1-x）=1，變形為lg

1+x

1-x

=1，進一步得出

1+x

1-x

=10，解方程即可．

解答： 解：（1）要使函數有意義，x需滿足：

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，
所以函數的定義域為（-1，1）
（2）函數f（x）為奇函數．
理由如下：函數f（x）=lg（1+x）-lg（1-x），
∵定義域為（-1，1），∴關于原點對稱，
∵f（-x）=lg（1-x）-lg（1+x）=-f（x），
則f（x）為奇函數．
（3）方程f（x）=1可化為lg（1+x）-lg（1-x）=1，
∴lg

1+x

1-x

=1，∴

1+x

1-x

=10，解得x=

9

11

，
∴方程的解集為{x|x=

9

11

}

點評：本題考查函數的奇偶性的判斷，注意首先考慮函數的定義域是否關于原點對稱，考查運算能力，屬于基礎題和易錯題．