Question

已知函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x+4）-f（x）=2f（2），若y=f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且f（-1）=2，則f（2013）等于

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，得y=f（x）關(guān)于x=0對稱，即為偶函數(shù)，根據(jù)已知條件賦值可求f（2）=f（-2）=0，可得函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，再由f（-1）=2，求f（2013）的值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
∴由函數(shù)的圖象的平移可知函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=0對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，
∵?x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2），
令x=-2可得，f（2）=f（-2）+2f（2），
∴f（-2）=-f（2）=f（2），∴f（2）=f（-2）=0，
∴f（x+4）=f（x）即函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，
∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（-1）=2，
故答案為：2．

點評：本題主要考查了利用賦值求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，由圖象判斷函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的周期的求解是求解本題的關(guān)鍵．