Question

若不等式x²-log_ax≤0在x∈（0，

1

2

]內恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A、0＜a≤

  1

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• B、0＜a＜

  1

  16

• C、

  1

  16

  ≤a＜1
• D、

  1

  16

  ＜a＜1

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：可判斷a＞1時不成立；當0＜a＜1時，可判斷x²-log_ax在（0，

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]上遞增，由單調性可得(

1

2

)2-loga

1

2

≤0，解出即可．

解答： 解：當a＞1時，∵x∈（0，

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2

]，∴l(xiāng)og_ax＜0，-log_ax＞0，
又x²＞0，∴x²-log_ax＞0，不合題意；
當0＜a＜1時，log_ax在（0，

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2

]上遞減，-log_ax在（0，

1

2

]上遞增，
又x²在（0，

1

2

]上遞增，
∴x²-log_ax在（0，

1

2

]上遞增，
∵不等式x²-log_ax≤0在x∈（0，

1

2

]內恒成立，
∴(

1

2

)2-loga

1

2

≤0，解得

1

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≤a＜1，
故選C．

點評：該題考查二次函數、對數函數的單調性，考查函數恒成立，考查轉化思想．