分析 (Ⅰ)由題知f(x)的定義域為(-1,+∞),求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),可得當(dāng)a=0時,f′(x)>0在[−12,−13]上恒成立;當(dāng)a≠0時,求出導(dǎo)函數(shù)的兩個零點,分a>0和a<0討論求得使函數(shù)f(x)在[−12,−13]上有單調(diào)遞增區(qū)間的a的范圍;
(Ⅱ)取a=1,可知在(0,+∞)上,f′(x)<0恒成立,即函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,由此得到ln(1+x)<x+x2在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,
取x=n,n∈N*,則0<ln(1+n)<n+n2,得1ln(1+n)>1n+n2=1n−1n+1,分別取n=1,2,3,…,n,利用累加法證明1ln2+1ln3+…+1ln(n+1)>nn+1.
解答 解:(Ⅰ)由題知f(x)的定義域為(-1,+∞),
{f^'}(x)=\frac{1}{x+1}-1-2ax=\frac{{-2a{x^2}-(2a+1)x}}{x+1},
當(dāng)a=0時,{f^'}(x)=\frac{-x}{x+1}>0在[−12,−13]上恒成立,即[−12,−13]為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,滿足條件;
當(dāng)a≠0時,由f′(x)=0,得x=0,或x=−1−12a.
若a>0,−1−12a<−1,由f′(x)>0,得-1<x<0,即f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,顯然,[−12,−13]為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
若a<0,要使函數(shù)f(x)在[−12,−13]上有單調(diào)遞增區(qū)間,則f′(x)>0的解集與(−12,−13)有公共區(qū)間,即−1−12a>−12,-1<a<0.
綜上所述,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[−12,−13]上有單調(diào)遞增區(qū)間,則實數(shù)a的取值范圍為(-1,+∞);
證明:(Ⅱ)a=1時,在(0,+∞)上,f′(x)<0恒成立,即函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,
∴x∈(0,+∞)時,f(x)<f(0)=0恒成立,
即 ln(1+x)-x-x2<0,
即ln(1+x)<x+x2在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,
取x=n,n∈N*,則0<ln(1+n)<n+n2,
即1ln(1+n)>1n+n2,
即1ln(1+n)>1n−1n+1,
∴1ln2>11−12,1ln3>12−13,1ln4>13−14,…,1lnn>1n−1−1n,1ln(1+n)>1n−1n+1.
∴1ln2+1ln3+1ln4…+1ln(n+1)>1−1n+1,
即1ln2+1ln3+1ln4…+1ln(n+1)>nn+1.
點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,是壓軸題.
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A. | \frac{1}{8} | B. | \frac{1}{3} | C. | \frac{3}{8} | D. | \frac{3}{4} |
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A. | 2 | B. | \sqrt{4+\frac{π^2}{9}} | C. | \sqrt{1+\frac{π^2}{9}} | D. | \sqrt{3} |
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