Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=na+n（n-1）b，（n=1，2，…），a、b是常數(shù)且b≠0．
（1）證明：以（a_n，-1）為坐標(biāo)的點(diǎn)P_n（n=1，2，…）都落在同一條直線上，并寫出此直線的方程．
（2）設(shè)a=1，b=，圓C是以（r，r）為圓心，r為半徑的圓（r＞0），在（2）的條件下，求使得點(diǎn)P₁、P₂、P₃都落在圓C外時，r的取值范圍．

Answer 1

解：（1）證明：∵b≠0，對于n≥2，有
∴所有的點(diǎn)P_n（a_n，-1）（n=1，2，…）都落在通過P₁（a，a-1）且以為斜率的直線上．
由點(diǎn)斜式，此直線方程為y-（a-1）=（x-a），即x-2y+a-2=0
（2）解：當(dāng)a=1，b=時，=a+（n-1）b=
∴P_n的坐標(biāo)為（n，），使P₁（1，0）、P₂（2，）、P₃（3，1）都落在圓C外的條件是
①②③
由不等式①，得r≠1
由不等式②，得r＜-或r＞+
由不等式③，得r＜4-或r＞4+
再注意到r＞0，1＜-＜4-，+＜4+
故使P₁、P₂、P₃都落在圓C外時，r的取值范圍是（0，1）∪（1，-）∪（4+，+∞）．
分析：（1）當(dāng)n=1時，P₁（a₁，a₁-1），可去研究P_n（n≥2）與P₁所在直線的斜率是否相等，若相等，則說明都落在同一條直線上，繼而根據(jù)點(diǎn)斜式寫出此直線的方程．
（2）點(diǎn)在圓外的條件是點(diǎn)到圓心的距離大于半徑．由已知列出關(guān)于r的不等式組，解不等式即可．
點(diǎn)評：本題考查多點(diǎn)共線的判定，直線方程求解、點(diǎn)與圓位置關(guān)系、不等式組的解法．要具有分析、解決問題能力，良好的計算能力．