Question

下述數(shù)陣稱(chēng)為“森德拉姆篩”，記為S．其特點(diǎn)是每行每列都是等差數(shù)列，第i行第j列的數(shù)記為A_ij．
1     4     7     10    13    …
4     8     12    16    20    …
7     12    17    22    27    …
10    16    22    28    34    …
13    20    27    34    41    …
…
（Ⅰ）求A_ij的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè) S中主對(duì)角線上的數(shù)1，8，17，28，41，…組成數(shù)列{b_n}．是否存在正整數(shù)p和r （1＜r＜p＜150），使得b₁，b_r，b_p成等差數(shù)列．若存在，寫(xiě)出p，r的一組解（不必寫(xiě)出推理過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）對(duì)于（2）中的數(shù)列{b_n}，試證不存在正整數(shù)k和m（1＜k＜m），使得b₁，b_k，b_m成等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）因?yàn)榈谝恍袛?shù)組成的數(shù)列{A_1j}（j=1，2，…）是以1為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列，所以A_1j=1+（j-1）×3=3j-2，第j列數(shù)組成的數(shù)列{ A_ij}（i=1，2，…）是以3j-2為首項(xiàng)，公差為 j+2的等差數(shù)列，即可求A_ij的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的p，r，則根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知2（r²+4r-4）=1+（p²+4p-4），令

r+5=p-1 2(r-1)=p+5

求得p和r．
（Ⅲ）假設(shè)存在k、m，1＜k＜m，使得b₁，b_k，b_m成等比數(shù)列，則根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可知b₁b_m=b_k²，根據(jù)題意b_n=A_nn=（n+2）²-4；求得（m+2）²-[（k+2）²-8]²=8，同時(shí)1＜k＜m，則可推斷k≥2、m≥3，進(jìn)而可知（m+2）+（k+2）²-8≥13進(jìn)而可得出0＜（m+2）+（k+2）²+8=

8

(m+2)+(k+2)2-8

≤

8

13

＜1與（m+2）-（k+2）²+8∈Z矛盾，推斷出不存在正整數(shù)k和m（1＜k＜m），使得b₁，b_k，b_m成等比數(shù)列．

解答： 解：（I）因?yàn)榈谝恍袛?shù)組成的數(shù)列{A_1j}（j=1，2，…）是以1為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列，
所以A_1j=1+（j-1）×3=3j-2，
第二行數(shù)組成的數(shù)列{A_2j}（j=1，2，…）是以4為首項(xiàng)，公差為4的等差數(shù)列，
所以A_2j=4+（j-1）×4=4j．              …2分
所以A_2j-A_1j=4j-（3j-2）=j+2，
所以第j列數(shù)組成的數(shù)列{ A_ij}（i=1，2，…）是以3j-2為首項(xiàng)，公差為 j+2的等差數(shù)列，
所以A_ij=3j-2+（i-1）×（j+2）=ij+2i+2j-4=（i+2）（j+2）-8．   …4分
（II）假設(shè)存在滿足條件的p，r，那么那么2（r²+4r-4）=1+（p²+4p-4），
分析可得

r+5=p-1 2(r-1)=p+5

，有r=13，p=19
所以存在r=13，p=19使得b₁，b_r，b_p成等差數(shù)列．                  …8分
（III）（反證法）假設(shè)存在k、m，1＜k＜m，使得b₁，b_k，b_m成等比數(shù)列，
即b₁b_m=b_k²，
∵b_n=A_nn=（n+2）²-8；
∴1×[（m+2）²-8]=[（k+2）²-8]²
得（m+2）²-[（k+2）²-8]²=8，
即[（m+2）+（k+2）²-8][（m+2）-（k+2）²+8]=8，
又∵1＜k＜m，且k、m∈N，
∴k≥2、m≥3，（m+2）+（k+2）²-8≥5+16-8=13
∴0＜（m+2）+（k+2）²+8=

8

(m+2)+(k+2)2-8

≤

8

13

＜1，這與（m+2）-（k+2）²+8∈Z矛盾，
所以不存在正整數(shù)k和m（1＜k＜m），使得b₁，b_k，b_m成等比數(shù)列．       …13分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，不等式的證明，等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．