Question

下列結(jié)論正確的是

 

（寫出所有正確結(jié)論的序號）
（1）常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；
（2）若直角三角形的三邊a、b、c成等差數(shù)列，則a、b、c之比為3：4：5；
（3）若三角形ABC的三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，則B=60°；
（4）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²+n+1，則{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n+1；
（5）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3ⁿ-1，則{a_n}為等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）舉反例如a_n=0，不是等比數(shù)列；
（2）利用等差數(shù)列的定義和勾股定理可得，因?yàn)闆]有指明哪一個(gè)是斜邊，因此得出之比為3：4：5或
為5：4：3；
（3）若三角形ABC的三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，則

2B=A+C A+B+C=180°

，解得即可；
（4）利用n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，即可判斷出；
（5）利用n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，即可{a_n}的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的定義即可得出．

解答： 解：（1）常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，不正確，例如a_n=0，不是等比數(shù)列；
（2）若直角三角形的三邊a、b、c成等差數(shù)列，則2b=a+c，若設(shè)c為斜邊，公差為d≠0，
由c²=a²+b²，可得（b+d）²=b²+（b-d）²，解得b=4d，
∴a=3d，c=5d，∴a、b、c之比為3：4：5．
若設(shè)a為斜邊，同理可得a、b、c之比為5：4：3．
因此不正確；
（3）若三角形ABC的三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，則

2B=A+C A+B+C=180°

，解得B=60°，因此正確；
（4）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²+n+1，
則n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+n+1-[（n-1）²+（n-1）+1]=2n．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3．
∴{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

3，n=1 2n，n≥2

，因此不正確；
（5）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3ⁿ-1，則n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-1-（3^n-1-1）=2×3^n-1．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3-1=2．
∴{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2×3^n-1，為等比數(shù)列，因此正確．
綜上可知：只有（3）（5）正確．
故答案為：（3）（5）．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式的求法、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．