Question

在正項等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁＜a₄=1，若集A={t|（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+…+（a_t-

1

at

）≤0，t∈N^*}，則A中元素個數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：等比數(shù)列

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)公比為q，由已知得a₁=q^-3，從而（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+…+（a_t-

1

at

）=

a1(1-qt)

1-q

-

1 a1 (1- 1 qt )

1- 1 qt

=

qt-1

a1(q-1)qt-1

（a₁²q^n-1-1）=

qt-1

a1(q-1)qt-1

•[q^n-7-1]≤0，由此求出n≤7．

解答： 解：設(shè)公比為q
∵a₁＜a₄=a₁q³=1
∴0＜a₁＜1  1＜q³，q＞1，①
∴a₁=q^-3，②
∴（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+…+（a_t-

1

at

）
=（a₁+a₂+…+a_t）-（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

at

）（后一個首項

1

a1

，公比

1

q

）
=

a1(1-qt)

1-q

-

1 a1 (1- 1 qt )

1- 1 qt

=

qt-1

a1(q-1)qt-1

（a₁²q^n-1-1），
代入②，得

qt-1

a1(q-1)qt-1

•[q^n-7-1]≤0
∵

qt-1

a1(q-1)qt-1

＞0
∴q^n-7-1≤0
q^n-7≤1
∴n-7≤0
解得n≤7
故答案為：7．

點評：本題考查集合中元素個數(shù)的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．